LOGARİTMA

1. TANIM

a R+ -{1} ve x R+ olmak üzere, ay = x eşitliğini ele alırsak.
Bu eşitlikte; a değerini bulmak için kök alma, x değerini bulmak için kuvvet (üs) alma , y değerini bulmak içinde logaritma işlemi yapılır.
a R+-{1}, x R+ ve y R olmak üzere,

ay=x Û y=loga x tir.

Burada; y sayısı , x sayısının a tabanına göre logaritmasıdır.

Örnekler:
1) log2 8 = y Þ 8= 2y Þ y = 3 tür.
2) loga 64 = 3 Þ 64 = a3 Þ a = 4 tür.
3) log3 x = -2 Þ x = 3-2 Þ x = dur.
4) loga a = x Þ a = ax Þ x = 1 dir.
5) loga 1 = n Þ 1 = an Þ n = 0 dır.
6) log5 (-25) v= m Þ -25 = 5m Þ m R dir.

Sonuç olarak:
1) loga a = 1
2) loga 1 = 0
3)y = loga f(x) Þ f(x) > 0

Örnek:
Log5 (log3 (log2 x) ) = 0 olduğuna göre, x değerini bulalım.

Çözüm:
Log5 (log3 (log2 x) ) = 0 Þ log3 (log2 x ) = 50 = 1 Þ log2 x = 31 Þ x = 23 = 8 dir.

Örnek:
Log3 (a3.b.c) = 5 log3 = 1 olduğuna göre, a.b çarpımını bulalım.

Çözüm:
log3(a3.b.c) = 5 Þ a3.b.c = 35
log3 =1 Þ =31
x
a3.b3 = 36
a.b = 32
a.b = 9 dur.



Örnek:
log 3 a = 3 ve log b = 4 olduğuna göre a.b çarpımını bulalım.

Çözüm:
log 3 a = 3 Þ a = 3 Þ a = 2 dir.
log b = 4 Þ b = 4 Þ b = 9 dur.
Buradan, a.b = 18 dir.

2. ÖZEL LOGARİTMALAR

a) Bayağı Logaritma
y = log10 x = log x fonksiyonuna 10 tabanında logaritma veya bayağı logaritma denir.

Örnek:
log10 10 = log10 = 1 dir.

b) Doğal Logaritma
e = 2,71828…. olmak üzere,
y = loge x = ln x fonksiyonuna doğal logaritma denir.

Örnek:
Loge e = ln e = 1 dir.


3. LOGARİTMANIN ÖZELLİKLERİ

x,y R+ ve a R+ - {1} olmak üzere,

1) loga (x.y) = loga x + loga y
2) loga = loga x – loga y
3) log xm = loga x
4) loga x = loga y Þ x = y dir.


Örnek:
1) log 5 + log 2 = log (5.2) = log 10 =1
2) log 300 – log 3 = log = log 100 = log (102) = 2. log 10 =2
3) log25 125 = log 53 = log5 5 =




Örnek:
log (2x-y) = log x + log y olduğuna göre, y nin x türünden eşitini bulalım.

Çözüm:
log (2x-y) = log x + log y Þ log (2x-y) = log (x.y)
Þ 2x – y = x.y
Þ 2x = x.y +y
Þ 2x = y. (x+1)
Þ y = dir.

Örnek:
log (a.b) = 3
log = 1 olduğuna göre, a değerini bulalım.

Çözüm:
log (a.b) = 3 Þ log a + log b = 3
log = 1 Þ log a – log b = 1
+
2 log a = 4
log a = 2
a= 102 = 100 dür.
Örnek:
log2 işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm:
log2 = log2 =log2 = log2 2 = tür.

Örnek:
a = olduğuna göre, logb değerini bulalım.

Çözüm:
a = Þ logb = logb = logb = logb b = tür.

Örnek:

log 5 = a, log 3 = b, log 2 = c olduğuna göre, log (22,5) ifadesinin a,b,c türünden eşitini
bulalım.





Çözüm:

log (22,5) = log = log = log 5 + log 32 – log 2 = log 5 + 2log 3 – log 2
= a + 2b – c dir.

Örnek:
Log5 x2 = 6 + log 5 olduğuna göre, x değerini bulalım.

Çözüm:
Log5 x2 = 6 + log 5 Þ 2. log5 x = 6 + log5 x-1
Þ 2. log5 x = 6 – log5 x
Þ 3. log5 x = 6
Þ log5 x = 2
Þ x = 52 = 25 tir.

Örnek:

log 5 = n olduğuna göre, log 4 değerinin n türünden eşitini bulalım.

Çözüm:

log 4 = 2 log 2 = 2 log = 2. ( log10-log5) = 2(1-n) dir.

a R+, a 1 ve x R+ olmak üzere,

a = x tir. dır.

Örnek:
3 = 5, e ln3 = 3 ve 10logA =A dır.

Örnek:
9 = 10 = 10 = 102 = 100 dür.

Taban Değiştirme Kuralı:

ve R+ olmak üzere,
= = = dır.






Not:
ve R+ olmak üzere,
, olur.

Örnek:
log25 = olduğuna göre, log510 ifadesinin türünden eşitini bulalım.

Çözüm:

log510 = = = olur.


4. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

Üstel fonksiyon bire bir ve örten olduğu için ters fonksiyonu vardır ve bu fonksiyona logaritma fonksiyonu denir.


Y = loga x fonksiyonunun grafiği a nın durumuna göre çizilirse,

1. a>1 için y
y = ax

1

x
1

y = x y = loga x




y
2. 0 y = x

1

x
1

y = loga x




grafikleri elde edilir.
Not:

y = loga (mx + n)fonksiyonunun grafiği, aşağıdaki işlemler yapılarak çizilir.
1) Logaritmanın tanımından, f(x) in grafiği, mx + n > 0 şartının sağlandığı bölgededir.
2) y = 0 ve y = 1 için sırasıyla x0 ve x1 değerleri bulunur. Grafik, (x0,0) ve (x1,1) noktalarından geçer.


Örnek:
f(x) = log2 (x-1) fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Çözüm:
f(x) fonksiyonu, x-1>0 Þ x>1 için tanımlıdır.
y = 0 için, log2 (x-1) = 0 Þ x = 2 ve
y = 1 için, log2 (x-1) = 1 Þ x = 3
olduğundan grafik (2,0) ve (3,1) noktalarından geçer. Taban 1 den büyük olduğundan, verilen fonksiyonun grafiği,



y




1


0
x
1 2 3
y = log2(x-1)


5. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TERSİ
a R+-{1} ve x R+ olmak üzere,
f(x) = loga x Û f -1 (x) = ax tir.

Örnek:

f(x) = log5x Û f –1 (x) = 5x tir.

Örnek:
f(x) = y = 2log5 x Þ x = 2.log5 f –1 (x)
= log5 .f –1(x) Þ = f –1(x)
Þf –1 (x) = tir.


6. LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER

Bir eşitsizlik içinde bilinmeyenin logaritması varsa bu tür eşitsizliklere logaritmalı eşitsizlikler denir.

1) a>1 olmak üzere,
loga f(x) loga g(x) Û f(x) g(x) (eşitsizliğin yönü değiştirilmez.)
2) 0 loga f(x) loga g(x) Û f(x) g(x) (eşitsizliğin yönü değiştirilir.)

Örnek:
log3 (log2(x-1)) > 0 Þ log2 (x-1) > 30 = 1
Þ x-1 > 21
Þ x > 3 tür.

Örnek:
log2(x-3)<4 Þ 0 < x-3 <24
Þ 3
Örnek:
log (3x-1) < 0 Þ log (3x-1) < 0
Þ -log2 (3x-1) < 0
Þ log2 (3x-1) > 0
Þ3x-1 > 1
Þx > tür.

7. BAYAĞI LOGARİTMA

a) Karekteristik ve Mantis

x R+ , k Z ve 0 m<1 olmak üzere, log x = k+m eşitliğinde k tamsayısına x in logaritmasının karekteristiği, m reel sayısına da x in logaritmasının mantisi denir.

Örnek:

log 30 = 1,477 ifadesinde, 30 sayısının logaritmasının karekteristiği1 ve mantisi 0,477 dir.

Örnek:

log2 = 0,301 olduğuna göre, log(800) değerinin karekteristik ve mantisini bulalım.

Çözüm:

log (800) = log (23.102) = 2 + 3 log2
= 2 + 3. (0,301)
= 2 + 0,903
= 2,903 olduğundan,
karekteristik 2 ve mantis 0,903 olur.
Not:
ve
olduğuna dikkat edilmelidir.

Uyarı:

1 den büyük pozitif tamsayıların basamak sayısı, sayının logaritmasının karekteristiğinin bir fazlasıdır.

Örnek:

log 2 = 0,301 olduğuna göre, (40)40 sayısının kaç basamaklı bir sayı olduğunu bulalım.

Çözüm:
Log (40)40 = 40. log(40)
= 40. (log 22.10)
= 40. (1 + 2 log 2)
= 40. (1+ 0,602)
= 64,08 olduğundan, karekteristik 64 ve basamak sayısı 65 tir.

b) Kologaritma:

x R+ olmak üzere, x in çarpmaya göre tersinin logaritmasına x in kologaritması denir ve colog x biçiminde gösterilir.

Colog x = log = log x –1 = - log x tir.

Örnek:

log x = 1,73 olduğuna göre, colog x in karekteristiğini ve mantisini bulalım.

Çözüm:

log x = 1,73 Þ colog x = - log x = -1,73 = -2 + 0,27 = dir.
colog x in karekteristiği –2 ve mantisi 0,27 dir.

Örnek:

log A = olduğuna göre , colog A değerini bulalım.

Çözüm:


log A = Þ colog A = - ( )
= - (-3 + 0,52)
= 3 – 0,52
= 2,48 dir.